Радиус основания конуса равен 4, а его высота 10. В этот конус вписан цилиндр так, что его верхнее основание касается боковой поверхности конуса, а нижнее лежит в плоскости его основания. Осевое сечение цилиндра - квадрат. Найдите объём цилиндра.

Пусть радиус цилиндра равен \(r\), а высота — \(h\). Осевое сечение цилиндра — квадрат, поэтому:

\[h=2r\]

Радиус конуса на высоте \(h\) уменьшается по подобию треугольников:

\[r=4\left(1-\frac{h}{10}\right)\]

Подставим \(h=2r\):

\[r=4\left(1-\frac{2r}{10}\right)\]

\[r=4-\frac{4r}{5}\]

\[\frac{9r}{5}=4\]

\[r=\frac{20}{9}\]

Тогда:

\[h=2r=\frac{40}{9}\]

Объём цилиндра:

\[V=\pi r^2h\]

\[V=\pi\cdot\left(\frac{20}{9}\right)^2\cdot\frac{40}{9}=\frac{16000\pi}{729}\]

Ответ: \(\frac{16000\pi}{729}\).

0 0 Пожаловаться