В прямоугольном треугольнике MNK к гипотенузе MK проведена высота NF. Площадь треугольника MNF равна 2 см², а площадь треугольника KNF — 32 см². Найдите гипотенузу треугольника MNK.

Треугольники \(MNF\) и \(KNF\) имеют общую высоту \(NF\), поэтому их площади относятся так же, как отрезки \(MF\) и \(FK\):

\[MF:FK=2:32=1:16.\]

Пусть \(MF=x\), тогда \(FK=16x\). Для высоты, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника, выполняется свойство:

\[NF^2=MF\cdot FK=16x^2.\]

Значит, \(NF=4x\). По площади треугольника \(MNF\):

\[\frac{MF\cdot NF}{2}=2.\]

\[\frac{x\cdot4x}{2}=2,\qquad 2x^2=2,\qquad x=1.\]

Тогда \(MF=1\) см, \(FK=16\) см, поэтому

\[MK=MF+FK=1+16=17\text{ см}.\]

Ответ: \(17\) см.

0 0 Пожаловаться