1). Стороны
треугольника относятся как 4 : 5 : 6,
а периметр тре­угольника, образованного
его средними линиями, равен 30 см.
Най­дите средние линии треугольника.

2). Медианы треугольника MNK пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая, параллельная
стороне МК и пересекаю­щая стороны MN и NK в точках А и В соответственно. Найдите МК,
если длина отрезка АВ равна
12 см.

3). В прямоугольном треугольнике РКТ (



















T = 90° ), РТ = 7

см, КТ = 1 см. Найдите угол К и гипотенузу КР.

4). В треугольнике ABC

A =

,

C =

, высота
ВН равна 4 см. Найдите АС.

5). В трапеции MNKP продолжения боковых сторон пересекаются в точке Е, причем
ЕК = КР. Найдите разность оснований трапеции, если NK = 7 см.

1. Стороны треугольника и его средние линии

Стороны треугольника относятся как $4 : 5 : 6$. Пусть коэффициент пропорциональности равен $k$. Тогда стороны треугольника: $4k$, $5k$, $6k$. Периметр треугольника равен сумме сторон:

Средняя линия каждого треугольника равна половине длины соответствующей стороны. Поскольку периметр треугольника, образованного средними линиями, равен 30 см, то:

Решаем уравнение:

Тогда стороны треугольника равны $16$, $20$, $24$. Средние линии равны половинам сторон:

2. Медианы и отрезок $AB$

Медианы треугольника пересекаются в точке $O$, которая делит каждую медиану в отношении $2 : 1$ (ближе к вершине). Если через точку $O$ проведена прямая, параллельная стороне $MK$, пересекающая $MN$ и $NK$ в точках $A$ и $B$, то $AB$ — средняя линия трапеции $MNKB$. Длина средней линии равна половине суммы оснований трапеции. Так как $AB = 12 \, \text{см}$, то:

Поскольку $MN = MK$ в условиях задачи не указан, принимаем $MN$ равной нулю. Тогда (MK = 2*12 *****

2. Продолжение решения задачи с медианами

Поскольку условие требует найти сторону $MK$, и известно, что $AB = 12 \, \text{см}$, длина $AB$ представляет собой половину длины стороны $MK$ (по свойству средней линии в треугольнике). Следовательно:

Итак, $MK = 24 \, \text{см}$.

3. Прямоугольный треугольник $РКТ$

Углы и стороны:

• $T = 90^\circ$,
• $РТ = 7 \, \text{см}, \, КТ = 1 \, \text{см}$.

Гипотенуза $КР$:

По теореме Пифагора:

Угол $К$:

Угол $К$ можно найти через тригонометрические функции. Например:

Отсюда угол $К$ можно вычислить, зная арксинус.

4. Высота и основание в треугольнике $ABC$

Если известна высота $BH = 4 \, \text{см}$, требуется найти основание $AC$. Без дополнительных данных, таких как угол или отношение сторон, задача не имеет однозначного решения. Укажите недостающие параметры (например, углы или стороны), чтобы найти $AC$.

5. Трапеция $MNKP$

Из условия известно:

• Продолжения боковых сторон пересекаются в точке $E$,
• $EK = KP$,
• $NK = 7 \, \text{см}$.

Так как трапеция симметрична относительно высоты, разность оснований равна длине отрезка $NK$. Таким образом: