AN является медианой равнобедренного треугольника ABC с основанием BC Найдите AN если периметр треугольника ABC 32 см а периметр ABN 24 см

В задаче дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$, где $AN$ является медианой, проводимой из вершины $A$ к основанию $BC$. Заданы периметры треугольников $ABC$ и $ABN$. Нужно найти длину медианы $AN$.

Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Обозначения:

   • Пусть длина основания треугольника $BC = x$, а длина боковых сторон $AB = AC = y$.
   • Периметр треугольника $ABC$ равен 32 см, то есть: $$x + 2y = 32$$
   • Также известно, что периметр треугольника $ABN$ равен 24 см, где $N$ — точка на основании $BC$, в которой медиана $AN$ пересекает основание $BC$. Поскольку медиана делит основание пополам, то длина отрезка $BN$ равна $\frac{x}{2}$. Периметр треугольника $ABN$ тогда будет: $$AB + BN + AN = 24$$ То есть: $$y + \frac{x}{2} + AN = 24$$

2. Система уравнений: У нас есть две уравнения:

   • $x + 2y = 32$
   • $y + \frac{x}{2} + AN = 24$

   Давайте решим эту систему.

3. Решение системы:

   Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

   $$x = 32 - 2y$$

   Подставим это выражение во второе уравнение:

   $$y + \frac{32 - 2y}{2} + AN = 24$$

   Упростим выражение:

   $$y + 16 - y + AN = 24$$ $$16 + AN = 24$$ $$AN = 8$$

Таким образом, длина медианы $AN$ равна 8 см.