Точка N лежит на стороне АС правильного треугольника ABC. Найти отношение радиусов окружностей, описаннных около треугольника ABN и ABC, если AN/AC=n

Для решения задачи найдем отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $\triangle ABN$ и $\triangle ABC$, в зависимости от параметра $n = \frac{AN}{AC}$.

Дано:

1. $\triangle ABC$ — правильный (все стороны равны).
2. Точка $N$ лежит на стороне $AC$, и $\frac{AN}{AC} = n$, где $0 \leq n \leq 1$.
3. Требуется найти $\frac{R_1}{R}$, где $R_1$ и $R$ — радиусы окружностей, описанных около $\triangle ABN$ и $\triangle ABC$ соответственно.

Шаг 1: Формула для радиуса описанной окружности

Радиус $R$ описанной окружности треугольника с вершинами $A, B, C$ вычисляется как:

где:

• $a, b, c$ — длины сторон треугольника,
• $S$ — площадь треугольника.

Шаг 2: Радиус окружности для $\triangle ABC$

Для правильного треугольника $ABC$ все стороны равны $a = b = c = AB = BC = AC$. Площадь $S_{ABC}$ равна:

Радиус описанной окружности $R$ будет:

Шаг 3: Радиус окружности для $\triangle ABN$

Для треугольника $ABN$:

• Сторона $AB = a$.
• Сторона $AN = n \cdot AC = n \cdot a$.
• Сторона $BN$ определяется через теорему Пифагора (так как $\triangle ABC$ правильный, угол $ACB = 60^\circ$):

Площадь треугольника $ABN$, используя формулу для площади через основание и высоту, равна:

где $h$ — высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AN$. Высоту можно найти через синус угла между сторонами: