A1. В ромбе ABCD AB = 10 см, меньшая диагональ AC = 12 см. Найдите площадь ромба.
A2. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его боковая сторона равна 6 см, а угол при вершине равен 60°.
A3. Найдите площадь прямоугольника, если его диагональ равна 13 см, а одна из сторон 5 см.
А4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна 16 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.
B1. Докажите, что медиана треугольника разбивает его на два треугольника одинаковой площади.
(Только подробно)

А1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половина диагонали \(AC\) равна \(6\) см.

Пусть половина второй диагонали равна \(x\). По теореме Пифагора:

\[6^2+x^2=10^2\]

\[36+x^2=100\]

\[x=8\]

Значит, вторая диагональ равна \(16\) см. Тогда площадь ромба:

\[S=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{12\cdot16}{2}=96\text{ см}^2\]

Ответ: \(96\text{ см}^2\).

А2. Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними:

\[S=\frac{1}{2}ab\sin C\]

\[S=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot\sin60^\circ=18\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\text{ см}^2\]

Ответ: \(9\sqrt{3}\text{ см}^2\).

А3. По теореме Пифагора в прямоугольнике:

\[5^2+x^2=13^2\]

\[25+x^2=169\]

\[x=12\text{ см}\]

Площадь:

\[S=5\cdot12=60\text{ см}^2\]

Ответ: \(60\text{ см}^2\).

А4. Для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями сумма оснований равна удвоенной высоте:

\[a+b=2h=2\cdot16=32\text{ см}\]

Тогда площадь трапеции:

\[S=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{32}{2}\cdot16=256\text{ см}^2\]

Ответ: \(256\text{ см}^2\).

В1. Пусть в треугольнике \(ABC\) проведена медиана \(AM\). По определению медианы точка \(M\) — середина стороны \(BC\), поэтому:

\[BM=MC\]

Рассмотрим треугольники \(ABM\) и \(ACM\). Их основания \(BM\) и \(MC\) лежат на одной прямой \(BC\). Высота, проведённая из точки \(A\) к прямой \(BC\), у этих треугольников общая и равна \(h\).

Площади треугольников равны:

\[S_{ABM}=\frac{1}{2}BM\cdot h\]

\[S_{ACM}=\frac{1}{2}MC\cdot h\]

Так как \(BM=MC\), а высота \(h\) одинакова, то:

\[S_{ABM}=S_{ACM}\]

Следовательно, медиана делит треугольник на два треугольника равной площади.

0 0 Пожаловаться