Дана правильная четырёхугольная пирамида PABCD с вершиной P и основанием ABCD. Длина стороны основания пирамиды PABCD равна 1, а длина бокового ребра равна 2. Сфера с центром в точке O касается плоскости (ABC) в точке A и касается бокового ребра PB. Найдите объём пирамиды OABCD. Ответ округлите до сотых.

Пусть высота исходной пирамиды равна \(H\). Расстояние от центра квадрата основания до его вершины равно \(\frac{\sqrt2}{2}\). По теореме Пифагора:

\[H^2+\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=2^2\]

\[H=\frac{\sqrt{14}}{2}\]

Рассмотрим сечение, содержащее точки \(P\), \(A\), \(B\) и центр сферы \(O\). Из условия касания плоскости основания в точке \(A\) следует, что \(OA\) — радиус сферы и высота пирамиды \(OABCD\). Условие касания ребра \(PB\) даёт:

\[OA=\frac{3\sqrt{14}}{14}\]

Площадь основания \(ABCD\) равна \(1\). Тогда:

\[V_{OABCD}=\frac13\cdot1\cdot\frac{3\sqrt{14}}{14}=\frac{\sqrt{14}}{14}\approx0{,}27\]

Ответ: \(0{,}27\).

0 0 Пожаловаться