Правильная четырёхугольная пирамида. Боковые рёбра = 10, стороны основания = 12. Найти: S боковой поверхности, S полной поверхности, высоту (H), S диагонального сечения, угол наклона бокового ребра, угол при основании, угол боковой грани.

Дана правильная четырёхугольная пирамида: основание — квадрат со стороной \(a = 12\), боковое ребро \(l = 10\).

1. Высота пирамиды

Расстояние от центра основания до вершины квадрата:

\[R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\]

По теореме Пифагора:

\[H = \sqrt{l^2 - R^2}\]

\[H = \sqrt{10^2 - (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{100 - 72} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\]

Ответ: \(H = 2\sqrt{7}\).

2. Площадь боковой поверхности

Высота боковой грани:

\[h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = 8\]

Площадь одной боковой грани:

\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48\]

Всего 4 грани:

\[S_{бок} = 4 \cdot 48 = 192\]

Ответ: \(S_{бок} = 192\).

3. Площадь полной поверхности

Площадь основания:

\[S_{осн} = 12^2 = 144\]

Тогда:

\[S_{полн} = 192 + 144 = 336\]

Ответ: \(S_{полн} = 336\).

4. Площадь диагонального сечения

Диагональ основания:

\[d = 12\sqrt{2}\]

Площадь диагонального сечения:

\[S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot H\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{7} = 12\sqrt{14}\]

Ответ: \(S = 12\sqrt{14}\).

5. Угол наклона бокового ребра к основанию

Пусть угол равен \(\alpha\). Тогда:

\[\sin \alpha = \frac{H}{l} = \frac{2\sqrt{7}}{10} = \frac{\sqrt{7}}{5}\]

\[\alpha \approx 32^\circ\]

Ответ: примерно \(32^\circ\).

6. Угол при основании боковой грани

Боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами \(10\), \(10\), \(12\). Половина основания равна \(6\), высота грани равна \(8\).

\[\cos \beta = \frac{6}{10} = 0{,}6\]

\[\beta \approx 53^\circ\]

Ответ: примерно \(53^\circ\).

7. Угол боковой грани при вершине

Обозначим его \(\gamma\). Тогда:

\[\gamma = 180^\circ - 2 \cdot 53^\circ \approx 74^\circ\]

Ответ: примерно \(74^\circ\).

0 0 Пожаловаться