Дана четырёхугольная пирамида SABCD. Основание пирамиды — прямоугольник ABCD, где AB = 4, BC = 4√2. Основание высоты пирамиды — точка O, пересечение диагоналей прямоугольника. Из точек A и C на ребро BS проведены соответственно высоты AM и CQ.
а) Докажите, что точка M является серединой BQ.
б) Найдите угол между плоскостями (ABS) и (BCS), если SD = 8.

а) Так как \(O\) — центр прямоугольника, то \(OB=OD\). Треугольники \(SOB\) и \(SOD\) прямоугольные, имеют общий катет \(SO\), поэтому \(SB=SD=8\).

Выберем координаты: \(O(0,0,0)\), \(B(2,-2\sqrt{2},0)\), \(S(0,0,2\sqrt{13})\). Высота найдена из условия: \(OD=2\sqrt{3}\), поэтому \(SO=\sqrt{8^2-(2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{13}\).

Любая точка ребра \(BS\) имеет вид \(X=B+t(S-B)\), где \(t=0\) соответствует точке \(B\). Проекции точек \(A\) и \(C\) на прямую \(BS\) дают:

\[t_M=\frac{(A-B)\cdot(S-B)}{|S-B|^2}=\frac18,\qquad t_Q=\frac{(C-B)\cdot(S-B)}{|S-B|^2}=\frac14.\]

Значит, \(M\) находится от \(B\) на четверти пути до \(Q\): \(BM=\frac12BQ\). Следовательно, точка \(M\) — середина отрезка \(BQ\).

б) Нормали к плоскостям \(ABS\) и \(BCS\) можно взять такими:

\[\vec n_1=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BS}=(0,-8\sqrt{13},8\sqrt2),\]

\[\vec n_2=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BS}=(8\sqrt{26},0,8\sqrt2).\]

Тогда

\[\cos\alpha=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}=\frac1{\sqrt{105}}.\]

Следовательно, угол между плоскостями:

\[\alpha=\arccos\frac1{\sqrt{105}}.\]

0 0 Пожаловаться