В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Через середину О диагонали АС проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках M и N
соответственно. Докажите, что отрезки OM и ON равны.

Чтобы доказать, что отрезки $OM$ и $ON$ равны в описанном параллелограмме ABCD, рассмотрим геометрическое свойство параллелограмма и некоторые теоремы о свойствах параллельных прямых и средних линий.

Шаг 1. Построение и обозначения

Параллелограмм ABCD имеет диагональ $AC$, и через её середину $O$ проведена прямая, которая пересекает стороны $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $N$, соответственно.

• Параллелограмм ABCD означает, что противоположные стороны параллельны и равны. То есть, $AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$, а также $AB = CD$ и $AD = BC$.

Шаг 2. Свойства параллелограмма

• Диагонали параллелограмма не обязательно перпендикулярны, но они всегда делят друг друга пополам. Следовательно, $O$ — это середина диагонали $AC$, то есть $OA = OC$.

Шаг 3. Средняя линия в треугольнике

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ACD$, в котором $O$ — середина диагонали $AC$. Прямая, проходящая через точку $O$ и пересекающая стороны $AD$ и $BC$ в точках $N$ и $M$ соответственно, является средней линией в треугольнике.

• Средняя линия в треугольнике параллельна основанию и равна половине его длины. Так как прямые $AD$ и $BC$ параллельны, прямая, проходящая через $O$ и пересекающая эти стороны, будет параллельна линии $AB$ или $CD$.

Шаг 4. Равенство отрезков

Поскольку прямая, проходящая через $O$, параллельна сторонам параллелограмма и пересекает его стороны в точках $M$ и $N$, а также $O$ — середина диагонали, то отрезки $OM$ и $ON$ должны быть равны по определению свойств параллельных прямых в параллелограмме.

Более формально, отрезки $OM$ и $ON$ являются частями одной и той же средней линии, которая делит параллелограмм на две части. Поскольку эта линия симметрична относительно центра параллелограмма, отрезки будут равны.

Заключение

Таким образом, отрезки $OM$ и $ON$ равны, что и требовалось доказать.