В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведёны медианы АМ и СN докажите что треугольник АМВ=СNB

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle ABC$, в котором $AB = BC$ и основание $AC$. Проведены медианы $AM$ и $CN$, где $M$ и $N$ – середины сторон $BC$ и $AB$ соответственно. Нам нужно доказать, что треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle CNB$ равны.

Шаг 1: Исследуем свойства медиан

• $AM$ — медиана, следовательно, точка $M$ — середина отрезка $BC$. Это означает, что $BM = MC$.
• $CN$ — медиана, следовательно, точка $N$ — середина отрезка $AB$. Это означает, что $AN = NB$.

Шаг 2: Рассмотрим равнобедренность $\triangle ABC$

Поскольку $AB = BC$, треугольник $\triangle ABC$ равнобедренный, и его медианы обладают симметрией относительно высоты из вершины $B$. Угол при вершине $B$ делится медианами пополам.

Шаг 3: Доказательство равенства треугольников

Рассмотрим треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle CNB$. Для доказательства их равенства используем признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

1. Равенство сторон:

• $AB = BC$ по условию.
• $BM = MC$, так как $M$ — середина $BC$.
• $AN = NB$, так как $N$ — середина $AB$.

2. Равенство углов:

Углы $\angle AMB$ и $\angle CNB$ равны, так как медианы $AM$ и $CN$ симметричны относительно высоты треугольника $\triangle ABC$, проведенной из вершины $B$. Также треугольник равнобедренный, а углы при основании равны ($\angle CAB = \angle BCA$).

3. Итог:

Стороны $AB$ и $BC$, отрезки $BM$ и $MC$, а также углы между медианами равны. Следовательно, $\triangle AMB \cong \triangle CNB$ по признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними).

Заключение

Мы доказали, что треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle CNB$ равны. Это равенство подтверждается как симметрией треугольника, так и равенством соответствующих сторон и углов.