В равнобедренном треугольнике АВС ( АВ=Вс) проведены медианы АМ и СК, которые пересекаются в точке О. Докажите что треугольник АОК= треугольнику СОМ

В равнобедренном треугольнике ABC, где AB = BC, проведены медианы AM и CK, которые пересекаются в точке O. Задача — доказать, что треугольник AOK равен треугольнику SOM. Для этого рассмотрим несколько шагов:

1. Свойства равнобедренного треугольника:
   В равнобедренном треугольнике ABC, так как AB = BC, то углы при основании равны, то есть ∠BAC = ∠BCA.

2. Медианы:
   Медианы треугольника — это отрезки, соединяющие вершины с серединой противоположной стороны. В нашем случае медиана AM соединяет вершину A с серединой стороны BC, а медиана CK соединяет вершину C с серединой стороны AB.

3. Свойства точек пересечения медиан:
   Медианы в любом треугольнике пересекаются в точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, где большая часть находится ближе к вершине треугольника.

4. Равенство треугольников:
   Чтобы доказать, что треугольники AOK и SOM равны, нам нужно показать, что они имеют одинаковые стороны и углы.

   • Стороны:

     1. Сторона AO = СО, так как точка O делит медиану AM пополам (по свойству пересечения медиан в треугольнике).
     2. Сторона OK = OM, поскольку точки O делят медианы в отношении 2:1.
     3. Сторона KA = MS, потому что AM и CK равны по длине, как медианы в равнобедренном треугольнике.

   • Углы:

     1. Углы ∠AOK и ∠SOM равны, так как они противоположны при пересечении медиан.
     2. Углы ∠OAK и ∠OMC также равны, так как они взаимно симметричны в равнобедренном треугольнике и медианах.

5. Заключение:
   Таким образом, все соответствующие стороны и углы треугольников AOK и SOM равны. Следовательно, треугольники AOK и SOM равны по стороне и углу, и доказательство завершено.