Прямая МК разбивает плоскость на две полуплоскости. Из точек М и К в разные полуплоскости проведены равные отрезки МА и КВ, причем угол АМК = углу ВКМ. Какие из высказываний верны? а) треугольник АМВ = АКВ ; б) угол АКМ = ВМК в) треугольник МКА = КМВ г) угол АМВ= КМВ.

Для решения задачи проанализируем геометрические условия и сделаем выводы по каждому из высказываний.

Дано:

1. Прямая $MK$ разбивает плоскость на две полуплоскости.
2. Точки $M$ и $K$ находятся в разных полуплоскостях.
3. Проведены равные отрезки $MA = KB$.
4. Углы $\angle AMK = \angle BKM$.

Разберем каждое утверждение:

а) Треугольник $AMK$ равен треугольнику $BKM$

Для проверки равенства треугольников используем признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам. У нас даны:

• $MA = KB$ (по условию),
• $\angle AMK = \angle BKM$ (по условию).

Но не хватает информации об углах $MKA$ и $MKB$. Для применения признака равенства необходимо знать, что $\angle MKA = \angle MKB$, чего в условии нет. Поэтому утверждение неверно.

б) Угол $\angle AKM = \angle BKM$

Для доказательства этого утверждения обратим внимание на то, что углы $\angle AMK$ и $\angle BKM$ равны по условию. Отрезки $MA$ и $KB$ равны, и они соединяют точки $M$ и $K$ с точками $A$ и $B$, находящимися в разных полуплоскостях относительно прямой $MK$. Это делает треугольники симметричными относительно прямой $MK$, следовательно, углы $\angle AKM$ и $\angle BKM$ тоже равны.

Таким образом, утверждение верно.

в) Треугольник $MKA$ равен треугольнику $KMB$

Используем признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам. Даны:

• Сторона $MK$ общая для обоих треугольников.
• Угол $\angle AMK = \angle BKM$ (по условию).
• Равны стороны $MA = KB$.

Следовательно, треугольники $MKA$ и $KMB$ равны по признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Таким образом, утверждение верно.

г) Угол $\angle AMB = \angle KMB$

Здесь нам нужно проанализировать, являются ли углы при вершинах $A$ и $B$ равными. Треугольники $MKA$ и $KMB$ равны по доказательству в пункте (в), но это не обязательно означает, что углы $\angle AMB$ и $\angle KMB$ равны, так как эти углы находятся не в самих треугольниках $MKA$ и $KMB$, а между продолжениями отрезков $MA$ и $KB$.

Учитывая, что точки $A$ и $B$ находятся в разных полуплоскостях, углы между отрезками $MA$ и $KB$ не равны. Следовательно, утверждение неверно.

Итог:

Верными являются утверждения:

• б) угол $\angle AKM = \angle BKM$;
• в) треугольник $MKA$ равен треугольнику $KMB$.