На сторонах AB, BC, CD, и AD квадрата ABCD отмечены соответственно точки P M E и K так, что AP=BM=CE=DK=3 см, ∠APK=60°. Чему равен периметр четырёхугольника PMEK?

(Желательно с чертежом)

Для решения задачи рассмотрим квадрат $ABCD$, в котором стороны $AB$, $BC$, $CD$, и $AD$ имеют равную длину $a$. На этих сторонах отмечены точки $P$, $M$, $E$, и $K$, так что $AP = BM = CE = DK = 3$ см. Угол $\angle APK = 60^\circ$. Нам нужно найти периметр четырёхугольника $PMEK$.

Шаг 1: Разберем расположение точек

• $P$ лежит на стороне $AB$ на расстоянии $3$ см от $A$.
• $M$ лежит на стороне $BC$ на расстоянии $3$ см от $B$.
• $E$ лежит на стороне $CD$ на расстоянии $3$ см от $C$.
• $K$ лежит на стороне $AD$ на расстоянии $3$ см от $D$.

Шаг 2: Координаты точек

Для удобства возьмем систему координат:

• $A(0, 0)$, $B(a, 0)$, $C(a, a)$, $D(0, a)$.

Соответственно:

• $P(3, 0)$, так как точка $P$ отстоит на $3$ см от $A$ вдоль $AB$.
• $M(a, 3)$, так как точка $M$ отстоит на $3$ см от $B$ вдоль $BC$.
• $E(a-3, a)$, так как точка $E$ отстоит на $3$ см от $C$ вдоль $CD$.
• $K(0, a-3)$, так как точка $K$ отстоит на $3$ см от $D$ вдоль $AD$.

Шаг 3: Найдем длины сторон $PMEK$

1. Длина $PM$

Расстояние между точками $P(3, 0)$ и $M(a, 3)$ рассчитывается по формуле:

Упрощаем:

2. Длина $ME$

Расстояние между точками $M(a, 3)$ и $E(a-3, a)$:

Упрощаем:

3. Длина $EK$

Расстояние между точками $E(a-3, a)$ и $K(0, a-3)$:

Упрощаем:

4. Длина $KP$

Расстояние между точками $K(0, a-3)$