На сторонах AB, BC, CD и AD квадрата ABCD отмечены соответственно точки P, M, E, K так, что AP = BM = CE = DK = 4см, угол BMP = 60 градусов. Чему равен периметр четырехугольника PMEK? Пожалуйста, если возможно, с чертежом.

Для решения задачи начнем с анализа условий. У нас есть квадрат $ABCD$ с длиной стороны $a$. На его сторонах отмечены точки $P, M, E, K$ таким образом, что:

• $AP = BM = CE = DK = 4 \, \text{см}$,
• угол $BMP = 60^\circ$.

Наша цель — найти периметр четырехугольника $PMEK$.

Шаг 1: Определим длину стороны квадрата

Точка $P$ находится на стороне $AB$, точка $M$ на стороне $BC$, точка $E$ на стороне $CD$, а точка $K$ на стороне $AD$. Так как $AP = BM = CE = DK = 4 \, \text{см}$, это означает, что сторона квадрата $a$ должна быть больше $4 \, \text{см}$. Однако точная длина стороны квадрата нам не нужна для вычисления периметра, так как отрезки внутри квадрата уже определены.

Шаг 2: Расчет сторон четырехугольника $PMEK$

Четырехугольник $PMEK$ состоит из следующих сторон:

1. $PM$ — это расстояние между точками $P$ и $M$,
2. $ME$ — это расстояние между точками $M$ и $E$,
3. $EK$ — это расстояние между точками $E$ и $K$,
4. $KP$ — это расстояние между точками $K$ и $P$.

Расчет $PM$

Точка $P$ лежит на стороне $AB$, на расстоянии $4 \, \text{см}$ от $A$. Точка $M$ лежит на стороне $BC$, также на расстоянии $4 \, \text{см}$ от $B$. Из условия известно, что угол $BMP = 60^\circ$. Это означает, что треугольник $BMP$ — равносторонний (все углы равны $60^\circ$, а стороны равны). Таким образом:

Расчет $ME$

Аналогично, точка $M$ на стороне $BC$ находится на расстоянии $4 \, \text{см}$ от $B$, а точка $E$ на стороне $CD$ находится на расстоянии $4 \, \text{см}$ от $C$. По аналогии с предыдущим рассуждением треугольник $CME$ также равносторонний. Следовательно:

Расчет $EK$

Треугольник $DEK$ также равносторонний, так как точка $E$ находится на стороне $CD$ на расстоянии $4 \, \text{см}$ от $C$, а точка $K$ на стороне $AD$ на расстоянии $4 \, \text{см}$ от $D$. Поэтому:

Расчет $KP$

Точка $K$ на стороне $AD$ находится на расстоянии $4 \, \text{см}$ от $D$, а точка $P$ на стороне $AB$ на расстоянии $4 \, \text{см}$ от $A$. Треугольник $AKP$ равносторонний, так как угол между сторонами квадрата прямой ($90^\circ$), а длины отрезков равны. Значит:

Шаг 3: Периметр четырехугольника $PMEK$

Теперь, чтобы найти периметр четырехугольника $PMEK$, складываем длины всех его сторон:

Ответ:

Периметр четырехугольника $PMEK$ равен $16 \, \text{см}$.

Чертеж:

Для наглядности я создам чертеж квадрата $ABCD$ с отмеченными точками $P, M, E, K$ и четырехугольником $PMEK$.

На чертеже показан квадрат $ABCD$ и четырехугольник $PMEK$ внутри него. Точки $P, M, E, K$ отмечены на соответствующих сторонах квадрата, а четырехугольник $PMEK$ соединяет эти точки. Периметр четырехугольника, как мы рассчитали, равен $16 \, \text{см}$. ​