Докажите что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны

Чтобы доказать, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, рассмотрим свойства и используем геометрические аксиомы.

Доказательство:

1. Определение параллелограмма:
   Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

2. Обозначим параллелограмм:
   Пусть ABCD — параллелограмм, где AB || CD и AD || BC.

Доказательство равенства противоположных сторон:

3. Соединяем диагональю:
   Проведем диагональ AC. Теперь четырехугольник разделен на два треугольника: △ABC и △CDA.

4. Треугольники имеют общую сторону:
   AC — общая сторона двух треугольников.

5. Противоположные стороны параллелограмма являются параллельными:
   AB || CD и AD || BC. Значит, углы при основании диагонали AC равны:
   ∠CAB = ∠DCA и ∠ACB = ∠CAD (параллельные линии и секущая создают равные углы).

6. По первому признаку равенства треугольников:
   В △ABC и △CDA:

   • AC — общая сторона,
   • ∠CAB = ∠DCA,
   • ∠ACB = ∠CAD.

   Следовательно, △ABC ≅ △CDA.

7. Вывод для сторон:
   Так как треугольники равны, то AB = CD и AD = BC. Противоположные стороны равны.

Доказательство равенства противоположных углов:

8. Рассмотрим углы параллелограмма:
   Так как AB || CD и AD || BC, то:

   • Углы ∠A и ∠C являются накрест лежащими углами при секущей AC. Следовательно, ∠A = ∠C.
   • Углы ∠B и ∠D также являются накрест лежащими углами при секущей AC. Значит, ∠B = ∠D.

9. Дополнительное подтверждение:
   Сумма углов любого четырехугольника равна 360°. В параллелограмме соседние углы являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей, поэтому их сумма равна 180°:
   ∠A + ∠B = 180° и ∠C + ∠D = 180°. Это также подтверждает равенство противоположных углов.

Итог:

В параллелограмме доказано:

1. Противоположные стороны равны: AB = CD и AD = BC.
2. Противоположные углы равны: ∠A = ∠C и ∠B = ∠D.

Эти свойства следуют из равенства треугольников, образованных диагоналями, и свойств параллельных прямых.