В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Сторона основания пирамиды равна 6 см. Найдите объем пирамиды

Можно с рисунком

Для решения задачи начнем с анализа геометрии правильной четырехугольной пирамиды:

1. Условие задачи:

   • Основание пирамиды — квадрат со стороной $a = 6 \, \text{см}$.
   • Боковое ребро пирамиды образует угол $\alpha = 45^\circ$ с плоскостью основания.
   • Требуется найти объем пирамиды.

2. Определение высоты пирамиды:
   Поскольку пирамида правильная, ее высота проходит через центр основания $O$ и вершину пирамиды $S$. Диагональ квадрата основания равна:

   $$d = a \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}.$$

   Радиус окружности, вписанной в квадрат основания, составляет половину диагонали:

   $$R = \frac{d}{2} = 3 \sqrt{2}.$$

   В треугольнике $SOO_1$ (где $O_1$ — середина стороны квадрата), гипотенуза $SO$ (боковое ребро) составляет:

   $$SO = R \cdot \sqrt{2} = 6.$$

   Так как угол между боковым ребром $SO$ и основанием равен $45^\circ$, высота $h$ пирамиды определяется через тригонометрическую функцию:

   $$\tan(45^\circ) = \frac{h}{R}.$$

   Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то $h = R = 3 \sqrt{2}.$

3. Объем пирамиды:
   Формула объема пирамиды:

   $$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h.$$

   Площадь основания $S_{\text{осн}}$:

   $$S_{\text{осн}} = a^2 = 36 \, \text{см}^2.$$

   Подставим значения:

   $$V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3 \sqrt{2} = 36 \sqrt{2} \, \text{см}^3.$$

Ответ: объем пирамиды составляет $36 \sqrt{2} \, \text{см}^3$.

Рисунок

(На рисунке должна быть показана правильная четырехугольная пирамида с квадратным основанием, высота $h$, боковое ребро $SO$ и центральная точка основания $O$.) Сейчас создам его.

На рисунке изображена правильная четырёхугольная пирамида. Основание — квадрат с вершинами $A, B, C, D$, а высота проведена из вершины $S$ перпендикулярно основанию в точке $O$. Красными линиями обозначены боковые рёбра, а зелёной пунктирной линией — высота пирамиды. ​​