Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12, а сторона её основания 8. Найдите тангенс угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания пирамиды.

Задача состоит в нахождении тангенса угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания правильной четырехугольной пирамиды.

Даны:

• Высота пирамиды $h = 12$,
• Сторона основания пирамиды $a = 8$.

Для решения задачи будем использовать геометрические рассуждения и свойства правильной четырехугольной пирамиды.

Шаг 1: Построение

Предположим, что правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание. Обозначим точку вершины пирамиды как $V$, а центры сторон квадрата основания как $O$. Высота пирамиды $h$ соединяет вершину $V$ с центром основания $O$, а основание пирамиды — это квадрат со стороной $a = 8$.

Так как пирамида правильная, боковые грани пирамиды — это равнобедренные треугольники, а каждая боковая грань имеет одинаковую высоту, равную $h$.

Шаг 2: Рассмотрение боковой грани

Плоскость боковой грани проходит через вершину пирамиды $V$ и две смежные вершины основания. Рассмотрим одну из боковых граней и проведем из точки $V$ перпендикуляр $h$ к основанию. Эта высота создаст прямоугольный треугольник между вершинами пирамиды и центром основания.

Шаг 3: Нахождение угла между плоскостями

Чтобы найти тангенс угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания, рассмотрим угол между вектором нормали к плоскости основания и нормалью к плоскости боковой грани.

1. Нормаль к основанию: Нормаль к плоскости основания направлена вдоль оси, которая проходит через центр квадрата основания и перпендикулярна плоскости основания. Этот вектор можно обозначить как $\mathbf{n}_1$.

2. Нормаль к боковой грани: Нормаль к боковой грани будет перпендикулярна плоскости этой грани. Рассмотрим боковую грань, образованную вершиной пирамиды $V$ и двумя соседними вершинами квадрата основания. Нормаль к этой плоскости будет направлена из точки $V$ в сторону, перпендикулярную боковой грани.

Теперь угол между двумя нормалями можно найти с помощью скалярного произведения. Для этого нужно вычислить скалярное произведение нормалей и разделить его на произведение длин нормалей.

Однако проще использовать геометрический подход через отношения высоты и половины стороны основания квадрата.

Шаг 4: Геометрический подход

Для того чтобы найти тангенс угла, можно рассмотреть треугольник, образованный высотой пирамиды $h = 12$ и половиной стороны основания квадрата $\frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4$. Тангенс угла между плоскостью основания и боковой гранью будет равен отношению высоты пирамиды к половине стороны основания квадрата.

Таким образом, тангенс угла можно вычислить как:

Ответ: Тангенс угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания пирамиды равен $3$.