В параллелограмме КМНР проведена биссектриса угла МКР, которая пересекает сторону МН в точке Е. а) Докажите, что треугольник КМЕ равнобедренный. б) найдите периметр КМНР, если МЕ = 10 см, ЕН = 6 см

Разбор задачи

Условие

Дан параллелограмм $КМНР$, в котором проведена биссектриса угла $МКР$, пересекающая сторону $МН$ в точке $Е$. Необходимо:

1. Доказать, что треугольник $КМЕ$ равнобедренный.
2. Найти периметр параллелограмма $КМНР$, если $МЕ = 10$ см, $ЕН = 6$ см.

Часть (а): Доказательство, что $\triangle КМЕ$ равнобедренный

1. Свойства биссектрисы:

   • Биссектриса угла $МКР$ делит этот угол на два равных угла. Обозначим угол $КМЕ = КЕР$ (как части угла $МКР$).

2. Свойства параллелограмма:

   • В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны ($КР \parallel МН$, $КМ \parallel РН$).
   • Противоположные углы равны: $\angle МКР = \angle КРН$.

3. Рассмотрим треугольник $КМЕ$:

   • Так как $Е$ лежит на биссектрисе угла $МКР$, углы при основании $МК$ ($\angle КМЕ$) и $КЕ$ ($\angle МЕК$) равны: $\angle КМЕ = \angle МЕК$.

4. Вывод:

   • В треугольнике $КМЕ$ углы при основаниях равны, значит, стороны $КМ$ и $КЕ$ равны.
   • Следовательно, $\triangle КМЕ$ — равнобедренный.

Часть (б): Нахождение периметра параллелограмма $КМНР$

Дано:

• $МЕ = 10$ см,
• $ЕН = 6$ см.

1. Свойства сторон параллелограмма:

   • В параллелограмме $КМНР$ $МН = КР$ и $КМ = РН$.

2. Выражаем сторону $МН$:

   • $МН = МЕ + ЕН = 10 + 6 = 16$ см.
   • Значит, противоположная сторона $КР = 16$ см.

3. Используем равнобедренный треугольник $КМЕ$:

   • Стороны $КМ$ и $КЕ$ равны. Поскольку $МЕ = 10$ см (дано), то $КЕ = КМ = 10$ см.
   • Следовательно, противоположная сторона $РН = 10$ см.

4. Находим периметр:

   • Периметр параллелограмма $КМНР$ равен сумме всех его сторон: $$P = КМ + МН + КР + РН.$$
   • Подставляем: $$P = 10 + 16 + 16 + 10 = 52 \, \text{см}.$$

Ответ:

а) Треугольник $КМЕ$ равнобедренный.
б) Периметр параллелограмма $КМНР$ равен $52$ см.