2. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла BAD, которая пересекает сторону BC в точке Е. Докажите, что треугольник ABЕ равнобедренный, и найдите сторону AD, если BЕ равно 10 см, а периметр параллелограмма равен 62 см.

Давайте разберем задачу подробно и шаг за шагом.

1. Доказательство того, что треугольник $\triangle ABE$ равнобедренный.

Дано:

• Параллелограмм $ABCD$.
• Биссектриса угла $\angle BAD$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$.
• Требуется доказать, что $\triangle ABE$ равнобедренный.

Рассмотрение углов:

• В параллелограмме противоположные стороны параллельны ($AB \parallel CD$, $AD \parallel BC$) и равны.
• Углы при одной стороне параллелограмма, например $AB$ и $AD$, смежные: $\angle BAD + \angle CDA = 180^\circ$.

Поскольку $AE$ — биссектриса угла $\angle BAD$, то она делит этот угол пополам:

Рассмотрим треугольник $\triangle ABE$. В нем:

• $\angle BAE = \angle DAE$ по свойству биссектрисы.
• Сторона $AB$ общая для $\triangle ABE$ и самого параллелограмма.

По определению биссектрисы и симметрии параллелограмма, точка $E$ делит сторону $BC$ пропорционально отрезкам, входящим в углы $\triangle ABE$, что делает $\triangle ABE$ равнобедренным.

Итак, мы доказали, что $AB = AE$, следовательно, $\triangle ABE$ равнобедренный.

2. Нахождение стороны $AD$.

Дано:

• $BE = 10 \, \text{см}$.
• Периметр параллелограмма равен $62 \, \text{см}$.

Шаг 1: Выражение периметра. Периметр параллелограмма равен сумме всех его сторон:

Подставляем данные:

Сократим на 2:

Шаг 2: Найдем $AB$. В треугольнике $\triangle ABE$, который мы доказали равнобедренным, $AB = AE$. Точка $E$ делит сторону $BC$ таким образом, что $BE = 10$. Поскольку $BC$ параллельна $AD$, то длина $BE$ также равна половине $AD$. Обозначим $AD = x$, тогда $BE = \frac{x}{2}$.

Подставляем длину $BE$:

Решаем уравнение:

Следовательно, $AD = 20 \, \text{см}$.

Шаг 3: Найдем $AB$. Из уравнения $AB + AD = 31$:

Ответ:

1. Треугольник $\triangle ABE$ равнобедренный, так как биссектриса угла $\angle BAD$ делит этот угол пополам, и точка $E$ делит $BC$ пропорционально.
2. Сторона $AD = 20 \, \text{см}$.