В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=24, а высота CH, опущенная на гипотенузу ,равна 12√3 , найдите sin угла ABC

Чтобы найти синус угла $\angle ABC$ в прямоугольном треугольнике ABC, где известны катет $AC = 24$ и высота $CH = 12\sqrt{3}$, опущенная на гипотенузу, воспользуемся несколькими геометрическими свойствами.

1. Обозначения и основная информация:

   Пусть треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом в вершине A. Обозначим:

   • $AB$ — гипотенуза треугольника.
   • $AC = 24$ — катет.
   • $BC$ — второй катет.
   • $CH = 12\sqrt{3}$ — высота, опущенная на гипотенузу $AB$.

2. Используем свойство прямоугольного треугольника и высоты на гипотенузу:

   Из геометрии известно, что высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на два отрезка. Эти отрезки и сама высота имеют интересное свойство, которое можно выразить через катеты и гипотенузу:

   $$CH^2 = AC \cdot BC.$$

   Подставим известные значения для $AC$ и $CH$:

   $$(12\sqrt{3})^2 = 24 \cdot BC.$$

   Рассчитаем квадрат высоты:

   $$12^2 \cdot 3 = 144 \cdot 3 = 432.$$

   Тогда получаем уравнение:

   $$432 = 24 \cdot BC.$$

   Разделим обе части на 24:

   $$BC = \frac{432}{24} = 18.$$

3. Найдем гипотенузу AB:

   Теперь, зная оба катета $AC = 24$ и $BC = 18$, можем найти гипотенузу $AB$ с помощью теоремы Пифагора:

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2.$$

   Подставим значения:

   $$AB^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900.$$

   Следовательно,

   $$AB = \sqrt{900} = 30.$$

4. Найдем $\sin \angle ABC$:

   Теперь можем найти синус угла $\angle ABC$. Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

   $$\sin \angle ABC = \frac{AC}{AB}.$$

   Подставим известные значения:

   $$\sin \angle ABC = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}.$$

Ответ: $\sin \angle ABC = \frac{4}{5}$.