В четырехугольнике АВСД угол 1 равен углу 3, угол 2 равен углу .докажите что АВСД параллелограмм.

Давайте докажем, что четырехугольник АВСД является параллелограммом, если выполнены следующие условия:

1. Угол 1 равен углу 3.
2. Угол 2 равен углу 4.

Доказательство:

Шаг 1. Вспомним свойства параллелограмма.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, нужно, чтобы выполнялось хотя бы одно из следующих условий:

• Противоположные стороны параллельны.
• Противоположные стороны равны.
• Противоположные углы равны.
• Диагонали пересекаются и делятся пополам.

Мы будем использовать геометрические свойства углов и доказательства от противного.

Шаг 2. Рассмотрим свойства углов в четырехугольнике.

• Пусть углы $\angle 1$ и $\angle 3$ находятся напротив друг друга. Тогда они являются противоположными углами.
• Углы $\angle 2$ и $\angle 4$ также противоположные.
• По условию: $\angle 1 = \angle 3$, $\angle 2 = \angle 4$.

Шаг 3. Свойства противоположных углов.

Если в четырехугольнике противоположные углы равны, это свойство является признаком параллелограмма. Докажем это.

1. Сумма углов любого четырехугольника равна $360^\circ$:

   $$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 360^\circ.$$

2. Так как $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 2 = \angle 4$, можем записать:

   $$2\angle 1 + 2\angle 2 = 360^\circ.$$

3. Упростим выражение:

   $$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ.$$

4. Это означает, что каждая пара соседних углов ($\angle 1$ и $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$) является дополнительной, то есть их сумма равна $180^\circ$. Это возможно только если противоположные стороны четырехугольника параллельны.

Шаг 4. Признак параллелограмма.

Если противоположные стороны четырехугольника параллельны, то он является параллелограммом. Таким образом, мы доказали, что четырехугольник АВСД — это параллелограмм.

Ответ:

Четырехугольник АВСД является параллелограммом, так как его противоположные углы равны ($\angle 1 = \angle 3$, $\angle 2 = \angle 4$), что соответствует одному из признаков параллелограмма.