Срочно АВСD-параллелограмм, угол ВАМ= углу DСN. Доказать: АМСN-параллелограмм. Доказать: АМСN-параллелограмм

Рассмотрим задачу подробно. У нас есть параллелограмм $ABCD$, и известно, что угол $\angle BAM = \angle DCN$. Нужно доказать, что $AMCN$ — параллелограмм.

Дано:

1. $ABCD$ — параллелограмм.
2. $\angle BAM = \angle DCN$.

Требуется доказать:

$AMCN$ — параллелограмм.

Доказательство:

1. Свойства параллелограмма $ABCD$

• По свойству параллелограмма, противоположные стороны $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), а также равны ($AB = CD$).
• То же самое справедливо для сторон $AD \parallel BC$ и $AD = BC$.

2. Угол $\angle BAM = \angle DCN$

По условию, углы $\angle BAM$ и $\angle DCN$ равны. Это указывает на определенную симметрию между сторонами $AB$ и $CD$, а точки $M$ и $N$ связаны определенным образом.

3. Равенство сторон

Так как $AB = CD$, и точки $M$ и $N$ принадлежат сторонам $AB$ и $CD$ соответственно, то при одинаковых углах ($\angle BAM = \angle DCN$) выполняется равенство:

Это следует из равенства треугольников $\triangle BAM$ и $\triangle DCN$ по стороне и углам ($AB = CD$, углы равны).

4. Параллельность сторон

• Рассмотрим стороны $AM$ и $CN$. Углы $\angle BAM$ и $\angle DCN$ равны, а $AB \parallel CD$. Следовательно, $AM \parallel CN$.
• Аналогично можно доказать, что $AC \parallel MN$, так как диагонали $AC$ и $MN$ соединяют соответствующие точки параллелограмма $ABCD$.

5. Свойства четырехугольника $AMCN$

• Из вышеизложенного следует, что противоположные стороны $AM$ и $CN$ равны ($AM = CN$) и параллельны ($AM \parallel CN$).
• То же самое справедливо для сторон $AC$ и $MN$.

Вывод:

По определению параллелограмма, если противоположные стороны четырехугольника попарно равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, $AMCN$ — параллелограмм. $\Box$