Точка М не принадлежит плоскости прямоугольника АВСД. Прямая а проходит через точку М и параллельна прямой АС. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков МА и МС , параллельна плоскости прямоугольника.

Для доказательства данной задачи, разберем ее поэтапно.

1. Условия задачи.

• Точка $M$ не лежит в плоскости прямоугольника $ABCD$.
• Прямая $a$ проходит через точку $M$ и параллельна прямой $AC$ (диагонали прямоугольника).
• Нужно доказать, что прямая, проходящая через середины отрезков $MA$ и $MC$, параллельна плоскости прямоугольника.

2. Геометрическое представление. Пусть прямоугольник $ABCD$ находится в некоторой плоскости, например, в плоскости $xy$. Сначала обозначим точки:

• $A(0, 0, 0)$,
• $B(a, 0, 0)$,
• $C(a, b, 0)$,
• $D(0, b, 0)$,

где $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника, а все координаты точек принадлежат плоскости $z = 0$.

Точка $M$ находится вне этой плоскости, то есть её координаты имеют вид $M(x_1, y_1, z_1)$, где $z_1 \neq 0$.

Прямая $a$, параллельная диагонали $AC$, проходит через точку $M$. Параллельность прямых означает, что вектор направления прямой $a$ и вектор $\overrightarrow{AC}$ пропорциональны. Поскольку $A$ и $C$ лежат в плоскости, можно записать координаты этих векторов:

• Вектор $\overrightarrow{AC} = (a, b, 0)$,
• Вектор направления прямой $a$, скажем $\overrightarrow{v} = (k \cdot a, k \cdot b, k \cdot 0)$, где $k$ — некоторый коэффициент пропорциональности.

3. Середины отрезков $MA$ и $MC$. Теперь рассмотрим середины отрезков $MA$ и $MC$.

• Средняя точка отрезка $MA$ имеет координаты $\left( \frac{x_1 + 0}{2}, \frac{y_1 + 0}{2}, \frac{z_1 + 0}{2} \right) = \left( \frac{x_1}{2}, \frac{y_1}{2}, \frac{z_1}{2} \right)$.
• Средняя точка отрезка $MC$ имеет координаты $\left( \frac{x_1 + a}{2}, \frac{y_1 + b}{2}, \frac{z_1 + 0}{2} \right) = \left( \frac{x_1 + a}{2}, \frac{y_1 + b}{2}, \frac{z_1}{2} \right)$.

4. Вектор, соединяющий середины. Теперь находим вектор, соединяющий эти две точки. Его координаты: