Решить уравнение: х³ - 5х² - х + 5 = 0

Чтобы решить уравнение $x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0$, начнем с того, что попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы о возможных рациональных корнях.

Шаг 1: Используем теорему о рациональных корнях

Теорема о рациональных корнях гласит, что возможные рациональные корни уравнения вида $ax^n + bx^{n-1} + \dots + z = 0$ могут быть представлены в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — это делители свободного члена, а $q$ — делители старшего коэффициента.

В нашем уравнении $x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0$, свободный член (последний коэффициент) равен 5, а старший коэффициент (при $x^3$) равен 1. Следовательно, возможные рациональные корни — это делители числа 5, то есть $\pm 1, \pm 5$.

Шаг 2: Подставляем возможные значения в уравнение

Подставим $x = 1$:

Получили, что $x = 1$ — корень уравнения.

Шаг 3: Деление многочлена на $x - 1$

Теперь, когда мы нашли один корень, можно разделить многочлен $x^3 - 5x^2 - x + 5$ на $x - 1$ с помощью деления многочленов. Для этого применим схему Горнера.

Делим:

Результат деления:

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение $x^2 - 4x - 5 = 0$. Используем формулу для решения квадратного уравнения:

Для уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$ коэффициенты: $a = 1, b = -4, c = -5$. Подставляем в формулу:

Получаем два корня:

Шаг 5: Ответ

Таким образом, уравнение $x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0$ имеет три корня: