Пусть f(x)=x^2(x-1) При каких значениях х: а) f(x)>0 б) f(x)≥0 в) f(x)<0 в) f(x)≤0

Задана функция $f(x) = x^2(x - 1)$. Давайте проанализируем, при каких значениях $x$ выполняются условия:

а) $f(x) > 0$

Для того чтобы функция $f(x)$ была больше нуля, необходимо, чтобы произведение всех её множителей было положительным. Рассмотрим функцию $f(x) = x^2(x - 1)$.

1. $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \geq 0$ для всех $x$.

2. $(x - 1)$ меняет знак в зависимости от значения $x$:

   • $x - 1 > 0$, когда $x > 1$,

   • $x - 1 = 0$, когда $x = 1$,

   • $x - 1 < 0$, когда $x < 1$.

Таким образом, функция $f(x) > 0$ будет, когда произведение $x^2$ и $(x - 1)$ положительно. Поскольку $x^2$ всегда положительно или равно нулю, то для $f(x) > 0$ нужно, чтобы $(x - 1) > 0$, то есть $x > 1$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x > 1$.

б) $f(x) \geq 0$

Теперь рассмотрим, при каких значениях $x$ функция $f(x)$ будет больше или равна нулю.

Как мы уже заметили, $x^2 \geq 0$, и для $(x - 1)$ возможны три случая:

1. Когда $x > 1$, $(x - 1) > 0$, следовательно $f(x) > 0$.

2. Когда $x = 1$, $(x - 1) = 0$, следовательно $f(x) = 0$.

3. Когда $x < 1$, $(x - 1) < 0$, следовательно $f(x) \geq 0$ (так как $x^2 \geq 0$ и $x^2 \cdot (x - 1)$ всегда неотрицательно).

Ответ: $f(x) \geq 0$ при $x \leq 1$ и $x \geq 1$, то есть при всех значениях $x$.

в) $f(x)$

Условие не завершено, поэтому нет полной формулировки. Возможно, подразумевалось, что нужно анализировать, при каких значениях $f(x) = 0$.

Для того чтобы функция $f(x) = 0$, один из множителей должен быть равен нулю. Рассмотрим:

1. $x^2 = 0$, когда $x = 0$,

2. $x - 1 = 0$, когда $x = 1$.

Таким образом, $f(x) = 0$ при $x = 0$ или $x = 1$.

Ответ: $f(x) = 0$ при $x = 0$ или $x = 1$.