При каких значениях переменной имеет смысл выражение : √4х + 16 + 1/√6 - 3х

Чтобы понять, при каких значениях переменной выражение $\sqrt{4x + 16} + \frac{1}{\sqrt{6 - 3x}}$ имеет смысл, нужно рассмотреть несколько важных моментов.

1. Условие для первого корня:

   В первой части выражения есть корень: $\sqrt{4x + 16}$. Чтобы корень был определён, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть:

   $$4x + 16 \geq 0.$$

   Решим это неравенство:

   $$4x \geq -16,$$ $$x \geq -4.$$

   Это означает, что переменная $x$ должна быть больше или равна -4, чтобы выражение под корнем было неотрицательным и имело смысл.

2. Условие для второго корня:

   Во второй части выражения есть дробь, в знаменателе которой находится корень: $\frac{1}{\sqrt{6 - 3x}}$. Чтобы этот корень был определён, подкоренное выражение должно быть строго положительным, то есть:

   $$6 - 3x > 0.$$

   Решим это неравенство:

   $$-3x > -6,$$ $$x < 2.$$

   Это означает, что переменная $x$ должна быть строго меньше 2, чтобы выражение под корнем было положительным, а знаменатель дроби не равнялся нулю (что тоже важно).

3. Объединение условий:

   Мы получаем два неравенства:

   • $x \geq -4$ (из условия для первого корня),
   • $x < 2$ (из условия для второго корня).

   Чтобы оба этих условия выполнялись одновременно, переменная $x$ должна лежать в интервале:

   $$-4 \leq x < 2.$$

Таким образом, выражение $\sqrt{4x + 16} + \frac{1}{\sqrt{6 - 3x}}$ имеет смысл при $x$ из промежутка $[-4, 2)$.