5. При каких натуральных значениях а оба выражения 126/а и 72/а (дроби) принимают натуральные значения?​

Чтобы оба выражения $\frac{126}{a}$ и $\frac{72}{a}$ принимали натуральные значения, $a$ должно быть таким натуральным числом, которое одновременно является делителем чисел 126 и 72. То есть $a$ должно быть общим делителем этих чисел. Для этого нужно найти общие делители чисел 126 и 72.

1. Разложим числа на простые множители

Число 126:

126 делим на 2 (первое простое число):

Теперь разложим 63:

Таким образом:

Число 72:

72 делим на 2:

Теперь разложим 9:

Таким образом:

2. Найдём наибольший общий делитель (НОД)

Для нахождения общих делителей нужно выделить общие простые множители с наименьшими степенями:

• Общий множитель $2$ встречается в степенях: $2^1$ (в 126) и $2^3$ (в 72). Берём меньшую степень: $2^1 = 2$.
• Общий множитель $3$ встречается в степенях: $3^2$ (в 126 и 72). Берём меньшую степень: $3^2 = 9$.

Таким образом:

3. Найдём все делители НОД

Теперь рассмотрим все делители числа 18, так как $a$ должно быть делителем НОД. Разложим 18 на множители:

Делители числа 18: $1, 2, 3, 6, 9, 18$.

4. Проверим условия

Для каждого из делителей проверим, чтобы оба выражения $\frac{126}{a}$ и $\frac{72}{a}$ были натуральными числами:

• $a = 1$: $\frac{126}{1} = 126$, $\frac{72}{1} = 72$ — натуральные.
• $a = 2$: $\frac{126}{2} = 63$, $\frac{72}{2} = 36$ — натуральные.
• $a = 3$: $\frac{126}{3} = 42$, $\frac{72}{3} = 24$ — натуральные.
• $a = 6$: $\frac{126}{6} = 21$, $\frac{72}{6} = 12$ — натуральные.
• $a = 9$: $\frac{126}{9} = 14$, $\frac{72}{9} = 8$ — натуральные.
• $a = 18$: $\frac{126}{18} = 7$, $\frac{72}{18} = 4$ — натуральные.

5. Ответ

Натуральные значения $a$, при которых оба выражения $\frac{126}{a}$ и $\frac{72}{a}$ принимают натуральные значения: