Неравенство (x+7)(x-4) больше или равно 0

Для решения неравенства $(x+7)(x-4) \geq 0$, нужно найти, при каких значениях $x$ произведение $(x+7)(x-4)$ будет больше или равно нулю.

1. Найдем корни уравнения. Чтобы найти значения $x$, при которых произведение равно нулю, приравняем $(x+7)(x-4)$ к нулю:

   $$(x+7)(x-4) = 0$$

   Это уравнение равно нулю, когда $x+7 = 0$ или $x-4 = 0$. Решим каждое из этих уравнений:

   $$x+7 = 0 \Rightarrow x = -7$$ $$x-4 = 0 \Rightarrow x = 4$$

   Таким образом, корни уравнения — это $x = -7$ и $x = 4$.

2. Рассмотрим знаки произведения на различных промежутках. Для этого разбиение на промежутки:

   • $x < -7$

   • $-7 \leq x \leq 4$

   • $x > 4$

Теперь проверим знак выражения $(x+7)(x-4)$ в каждом из этих промежутков:

• Для $x < -7$, например, возьмем $x = -8$:

  $$(x+7)(x-4) = (-8+7)(-8-4) = (-1)(-12) = 12 > 0$$

  На промежутке $x < -7$ произведение положительное.

• Для $-7 \leq x \leq 4$, например, возьмем $x = 0$:

  $$(x+7)(x-4) = (0+7)(0-4) = 7 \times (-4) = -28 < 0$$

  На промежутке $-7 < x < 4$ произведение отрицательное.

• Для $x > 4$, например, возьмем $x = 5$:

  $$(x+7)(x-4) = (5+7)(5-4) = 12 \times 1 = 12 > 0$$

  На промежутке $x > 4$ произведение положительное.

3. Учитываем границы. На границах $x = -7$ и $x = 4$ произведение равно нулю, так как:

   $$(x+7)(x-4) = 0$$

   Это соответствует условию неравенства $(x+7)(x-4) \geq 0$.

4. Ответ: Произведение $(x+7)(x-4)$ будет больше или равно нулю для $x \in (-\infty, -7] \cup [4, +\infty)$.