Перед на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Сап­фир» иг­ра­ет три матча с раз­ны­ми ко­ман­да­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этих играх «Сап­фир» вы­иг­ра­ет жре­бий ровно два раз

Для решения этой задачи воспользуемся принципами теории вероятностей.

1. Условия задачи:
   Судья бросает монету для определения, какая команда начнёт игру с мячом. Предположим, что вероятность выпадения "орел" или "решка" одинаковая, то есть вероятность того, что команда «Сапфир» начнёт с мячом в одном матче, равна 0.5, и вероятность того, что «Сапфир» не начнёт с мячом (то есть выиграет жребий другая команда), тоже равна 0.5.

2. Необходимое событие:
   Нас интересует вероятность того, что в трех матчах команда «Сапфир» выиграет жребий ровно дважды.

3. Математическая модель:
   Это типичная задача, которая может быть решена с помощью распределения Бернулли. В данной задаче у нас три испытания (матча), в каждом из которых есть два возможных исхода — либо «Сапфир» выигрывает жребий, либо нет.

   Вероятность того, что «Сапфир» выиграет жребий в одном матче, равна 0.5, а вероятность того, что не выиграет — тоже 0.5.

4. Решение через биномиальное распределение:
   Мы ищем вероятность того, что из трёх матчей «Сапфир» выиграет жребий ровно дважды. Это можно найти с помощью биномиального распределения:

   Формула биномиальной вероятности:

   $$P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$

   где:

   • $n$ — количество матчей (в данном случае 3),

   • $k$ — количество побед в жребии (в данном случае 2),

   • $p$ — вероятность выигрыша жребия в одном матче (0.5),

   • $C(n, k)$ — биномиальный коэффициент, который вычисляется как $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

5. Подставим значения в формулу:

   $$P(X = 2) = C(3, 2) \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{3-2}$$

   Биномиальный коэффициент $C(3, 2)$ равен:

   $$C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3}{1} = 3$$

   Теперь подставим все в формулу:

   $$P(X = 2) = 3 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^1 = 3 \cdot 0.25 \cdot 0.5 = 3 \cdot 0.125 = 0.375$$

6. Ответ:
   Вероятность того, что «Сапфир» выиграет жребий ровно дважды в трёх матчах, составляет 0.375 или 37.5%.