Решите биквадратное уравнение: а)х^4+25x^2=0 b)x^4+6x^2-27=0

Рассмотрим оба биквадратных уравнения поочередно.

а) Уравнение: $x^4 + 25x^2 = 0$

1. Для решения этого уравнения сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$, тогда уравнение примет вид:

   $$y^2 + 25y = 0$$

2. Извлекаем общий множитель:

   $$y(y + 25) = 0$$

3. Получаем два возможных значения для $y$:

   $$y = 0 \quad \text{или} \quad y = -25$$

   Однако, поскольку $y = x^2$, а квадрат числа всегда неотрицателен, то $y = -25$ не имеет смысла. Оставляем только $y = 0$.

4. Возвращаемся к переменной $x$:

   $$x^2 = 0$$

   Отсюда $x = 0$.

Таким образом, корень уравнения $x^4 + 25x^2 = 0$ — это $x = 0$.

b) Уравнение: $x^4 + 6x^2 - 27 = 0$

1. Сделаем ту же замену: $y = x^2$, и уравнение примет вид:

   $$y^2 + 6y - 27 = 0$$

2. Решим это квадратное уравнение по формуле:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   где $a = 1$, $b = 6$, $c = -27$.
   Подставим значения:

   $$y = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27)}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-6 \pm 12}{2}$$

3. Таким образом, получаем два возможных значения для $y$:

   $$y = \frac{-6 + 12}{2} = 3 \quad \text{или} \quad y = \frac{-6 - 12}{2} = -9$$

   Поскольку $y = x^2$, то $x^2 = 3$ или $x^2 = -9$. Значение $x^2 = -9$ невозможно, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

4. Оставляем только $x^2 = 3$, из чего получаем:

   $$x = \pm \sqrt{3}$$

Таким образом, корни уравнения $x^4 + 6x^2 - 27 = 0$ — это $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$.

Ответ:

• Для уравнения $x^4 + 25x^2 = 0$: $x = 0$.

• Для уравнения $x^4 + 6x^2 - 27 = 0$: $x = \sqrt{3}$