Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое

Ответы на вопрос

Отвечает Пафиков Виктор.

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду, у которой:

сторона основания $a = 4$ ,
боковое ребро $l = \sqrt{17}$ .

Нам нужно найти объём этой пирамиды.

Шаг 1: Найдём высоту пирамиды

Так как пирамида правильная четырёхугольная, то в основании у неё квадрат, а вершина пирамиды проектируется в центр квадрата. То есть высота $h$ пирамиды опускается из вершины на центр основания.

Центр квадрата находится на пересечении его диагоналей, и расстояние от центра до вершины основания (любой из четырёх) — это половина диагонали квадрата. Диагональ квадрата со стороной $a = 4$ равна:

d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}

Значит, расстояние от центра квадрата до его вершины (то есть основание прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза — это боковое ребро, а катеты — высота пирамиды и расстояние от центра к вершине основания):

\frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}

Теперь используем теорему Пифагора, чтобы найти высоту $h$ пирамиды. В прямоугольном треугольнике:

гипотенуза — $\sqrt{17}$ ,
один катет — $2\sqrt{2}$ ,
второй катет — искомая высота $h$ .

(\sqrt{17})^2 = h^2 + (2\sqrt{2})^2

17 = h^2 + 8

h^2 = 9 \Rightarrow h = 3

Шаг 2: Найдём площадь основания

Основание — квадрат со стороной 4:

S_{\text{осн}} = 4 \cdot 4 = 16

Шаг 3: Используем формулу объёма пирамиды

V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 3 = 16

Ответ:

Объём пирамиды равен 16.

Последние заданные вопросы в категории Математика

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно √17.