Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 24.

Чтобы число делилось на 22, оно обязано:

• быть чётным (делиться на 2);

• удовлетворять правилу делимости на 11: разность суммы цифр, стоящих на чётных позициях, и суммы цифр, стоящих на нечётных позициях, кратна 11.

1. Отберём наборы цифр с произведением 24

Поскольку все цифры четырёхзначного числа лежат в диапазоне 1 – 9 (цифра 0 зануляла бы произведение), перечислим четвёрки, чей продукт равен 24:

2. Расставим цифры и проверим делимость

Перебираем перестановки каждой четвёрки, оставляя только те, что:

1. заканчиваются чётной цифрой (требование делимости на 2);

2. удовлетворяют $(a+c)-(b+d)\equiv0\pmod{11}$ (делимость на 11).

(Для остальных наборов подходящих перестановок нет.)

3. Итог

Четырёхзначных чисел, кратных 22 и имеющих произведение цифр 24, ровно четыре: