Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист попал в мишень четыре раза и один раз промахнулся.

Используем биномиальное распределение, поскольку каждое из пяти выстрелов независимо имеет две исходных возможности — «попадание» (с вероятностью $p = 0{,}8$) или «промах» (с вероятностью $q = 1-p = 0{,}2$).

Нас интересует событие «четыре попадания и один промах». Вероятность такого события равна

где $\binom{5}{4}$ — число способов выбрать 4 выстрела из 5, которые окажутся удачными.

1. Комбинационное число

   $$\binom{5}{4} = 5.$$

2. Вероятность четырёх попаданий

   $$p^{4} = 0{,}8^{4} = 0{,}4096.$$

3. Вероятность одного промаха

   $$q^{1} = 0{,}2.$$

4. Перемножаем:

   $$P(X = 4) = 5 \times 0{,}4096 \times 0{,}2 = 5 \times 0{,}08192 = 0{,}4096.$$

Итак, вероятность того, что биатлонист попадёт в мишень ровно четыре раза из пяти, равна $0{,}4096$, то есть $40{,}96\%$.