РЕШИТЕ НЕРАВЕНСТВО 2^2x+1-5*2^x+2>0

Пошаговое решение

1. Сведение к квадрату
   Обозначим $t=2^{x}\;(t>0)$.

   $$2^{2x+1}-5\cdot2^{x+2} =2\cdot2^{2x}-20\cdot2^{x} =2t^{2}-20t.$$

2. Получаем квадратное неравенство

   $$2t^{2}-20t>0\;\;\Longrightarrow\;\;t^{2}-10t>0 \;\;\Longrightarrow\;\;t(t-10)>0.$$

3. Анализ знаков
   Произведение двух множителей положительно, когда оба положительны или оба отрицательны.

   • $t<0$ и $t-10<0$ не подходит, потому что $t=2^{x}>0$.

   • $t>0$ и $t-10>0$ ⇒ $t>10$.

4. Возврат к переменной $x$

   $$2^{x}>10 \quad\Longrightarrow\quad x>\log_{2}10.$$

5. Ответ

   $$\boxed{\;x>\log_{2}10\;\;}\quad\bigl(\text{примерно }x>3{,}322\bigr).$$