Решите неравенство: x^2-7x+6>0

Решение неравенства $x^2 - 7x + 6 > 0$ можно разбить на несколько этапов:

1. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$:

   Для этого воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   В нашем уравнении $a = 1$, $b = -7$, $c = 6$.

   Подставляем эти значения в формулу:

   $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$$

   Теперь находим корни:

   $$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 5}{2}$$

   Отсюда получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{7 + 5}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{7 - 5}{2} = 1$$

2. Запишем неравенство в виде произведения:

   Так как мы нашли корни, можно переписать выражение $x^2 - 7x + 6$ в виде:

   $$(x - 1)(x - 6) > 0$$

3. Рассмотрим знаки произведения:

   Чтобы решить неравенство, нужно определить, при каких значениях $x$ произведение двух множителей будет положительным. Для этого выделим промежутки на числовой оси, исходя из корней $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$:

   • $x < 1$
   • $1 < x < 6$
   • $x > 6$

   Теперь проверим знаки на каждом из этих промежутков:

   • Если $x < 1$, например $x = 0$, то оба множителя $(x - 1)$ и $(x - 6)$ будут отрицательными, а произведение двух отрицательных чисел даёт положительное число. Значит, на промежутке $x < 1$ неравенство выполняется.
   • Если $1 < x < 6$, например $x = 3$, то $(x - 1)$ будет положительным, а $(x - 6)$ отрицательным, и произведение будет отрицательным. На этом промежутке неравенство не выполняется.
   • Если $x > 6$, например $x = 7$, то оба множителя будут положительными, и их произведение будет также положительным. Значит, на промежутке $x > 6$ неравенство выполняется.

4. Ответ:

   Неравенство $x^2 - 7x + 6 > 0$ выполняется на промежутках:

   $$x \in (-\infty; 1) \cup (6; +\infty)$$

Таким образом, решением неравенства является объединение этих промежутков.