Найдите четырёхзначное число, которое кратно 4, а сумма цифр равна их произведению.

Обозначим число как $\overline{ABCD}$ и его цифры $A,B,C,D$.

1. Условие «сумма = произведение»

Если хотя бы одна цифра 0, то произведение 0, а сумма > 0, что невозможно.
Значит все цифры положительные.

Максимальная возможная сумма цифр — $9+9+9+9=36$.
Следовательно и произведение не может превышать 36. При четырёх цифрах это возможно только когда большая их часть равна 1.

Две единицы и ещё две цифры $x,y$

Пусть цифры таковы: $1,1,x,y\;(x,y\ge 2)$.

Единственные натуральные решения при $x,y\le9$:

то есть $\{x,y\}=\{2,4\}$.

Таким образом, единственный возможный набор цифр — 1, 1, 2, 4.

Три единицы или одна единица

Три единицы дают $x = x+3$ (невозможно).
Одна единица влечёт $xyz = x+y+z+1$; перебор показывает, что решений в цифрах 2–9 нет.
Без единиц произведение всегда превышает сумму.
Значит других наборов цифр быть не может.

2. Условие делимости на 4

Число делится на 4, если его последние две цифры образуют двузначное число, кратное 4.
Из цифр 1, 1, 2, 4 такими парами могут быть 12 и 24.

• …12
  Оставшиеся цифры — 1 и 4. Возможны два размещения:

  $$1412,\; 4112.$$

  В обоих случаях последние две цифры 12, а потому число кратно 4.

• …24
  Оставшиеся цифры — 1 и 1, единственное размещение:

  $$1124.$$

3. Проверка

Во всех трёх случаях сумма и произведение цифр равны $1+1+2+4 = 1\cdot1\cdot2\cdot4 = 8$, а последние две цифры дают число, делящееся на 4.

Ответ: 1124, 1412, 4112.