Решить уравнение, приводимое к квадратному: 3sin^2x+cosx-2=0

Решим уравнение

1. Переход к квадратному уравнению

Используем тождество $\sin^{2}x=1-\cos^{2}x$:

Приведём подобные члены:

Умножим на $-1$, чтобы старший коэффициент был положительным:

2. Решение квадратного уравнения

Обозначим $y=\cos x$. Тогда

Находим дискриминант:

Корни:

Получаем два допустимых значения, оба лежат в интервале $[-1,1]$:

• $\displaystyle y_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{6}\approx0.7676$;

• $\displaystyle y_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{6}\approx-0.4343$.

3. Возвращаемся к переменной $x$

1) $\displaystyle\cos x=\frac{1+\sqrt{13}}{6}$

Численно: $\arccos(0.7676)\approx0.694\text{ рад} \;(\approx39.8^{\circ})$.

2) $\displaystyle\cos x=\frac{1-\sqrt{13}}{6}$

Численно: $\arccos(-0.4343)\approx2.018\text{ рад} \;(\approx115.7^{\circ})$.

4. Ответ

(Приближённо: $x\approx2\pi k\pm0.694$