x² - 1 > 0, квадратное неравенство

Решим неравенство:
x² - 1 > 0

Это квадратное неравенство. Разберём его по шагам.

Шаг 1: Преобразуем неравенство

x² - 1 > 0
Это разность квадратов, её можно разложить:
(x - 1)(x + 1) > 0

Шаг 2: Найдём нули выражения

Приравниваем выражение к нулю:
(x - 1)(x + 1) = 0
Это даёт корни:
x = -1 и x = 1

Эти точки делят числовую прямую на три интервала:

• x < -1

• -1 < x < 1

• x > 1

Шаг 3: Определим знак выражения на каждом интервале

Выражение: (x - 1)(x + 1)

• При x < -1, например x = -2:
  (-2 - 1)(-2 + 1) = (-3)(-1) = 3 → положительное значение

• При x ∈ (-1, 1), например x = 0:
  (0 - 1)(0 + 1) = (-1)(1) = -1 → отрицательное значение

• При x > 1, например x = 2:
  (2 - 1)(2 + 1) = (1)(3) = 3 → положительное значение

Шаг 4: Записываем решение

Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля, то есть положительным.

Это происходит на интервалах:
x < -1 и x > 1

Границы -1 и 1 не включаются, так как неравенство строгое (> 0).

Ответ:

x ∈ (-∞, -1) ∪ (1, +∞)