Если основания одинаковые, а показатели степеней разные, можно ли их вычитать?

Если основания одинаковые, а показатели степеней разные, то степени нельзя вычитать напрямую.

Рассмотрим подробнее, почему так. Предположим, у нас есть выражение:

aⁿ - aᵐ, где a — одинаковое основание, а n и m — разные показатели степени.

Многие думают, что можно просто "вычесть степени", как это делают при умножении или делении степеней (например, aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ), но это не работает для сложения или вычитания. Почему?

Потому что:

aⁿ - aᵐ ≠ aⁿ⁻ᵐ

Пример:
Возьмём a = 2, n = 3, m = 2.

Тогда:

• 2³ = 8

• 2² = 4

• 2³ - 2² = 8 - 4 = 4

А если бы мы просто вычли степени:

• 2³⁻² = 2¹ = 2

Как видим, 4 ≠ 2, значит, такой способ неверен.

Чтобы вычесть такие степени, можно только в том случае, если их можно вынести за скобки или сгруппировать каким-то образом. Например:

2⁴ - 2² = 2²(2² - 1) = 4(4 - 1) = 4×3 = 12

Здесь мы использовали вынесение общего множителя — это уже алгебраическое преобразование, а не просто "вычитание степеней".

Вывод:
Если основания одинаковые, а степени разные, вычитать такие степени напрямую нельзя. Можно преобразовать выражение с помощью вынесения общего множителя или других алгебраических приёмов, но просто "aⁿ - aᵐ = aⁿ⁻ᵐ" — это неверно.