Решите уравнение: x^4 - x^2 + 2x - 1 = 0

Рассмотрим многочлен

1. Разложим на множители

Предположим, что он раскладывается как произведение двух квадратных многочленов с коэффициентом 1 при $x^{2}$:

После раскрытия скобок получаем систему для коэффициентов:

Из $a+c=0$ следует $c=-a$.
Так как $bd=-1$, удобные целые варианты — $b=1,\;d=-1$ или $b=-1,\;d=1$.

Берём $b=1,\;d=-1$. Тогда из $ad+bc=2$ имеем

Все уравнения удовлетворяются, поэтому

2. Решим каждое квадратное уравнение

1. $x^{2}-x+1=0$

   $$D_1=(-1)^{2}-4\cdot1\cdot1=1-4=-3<0.$$

   Комплексные корни:

   $$x=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}.$$

2. $x^{2}+x-1=0$

   $$D_2=1^{2}-4\cdot1\cdot(-1)=1+4=5>0.$$

   Действительные корни:

   $$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.$$

3. Итоговый ответ