Решите уравнение x⁴=(2x-15)²

Решение

Уравнение

перепишем в виде одного многочлена:

1. Раскрываем скобки

откуда

Получили биквадратное по форме quartic-уравнение

2. Находим рациональные корни (метод рациональных корней)

Коэффициенты целые, поэтому возможные рациональные корни — делители свободного члена ±225. Проверяем несколько:

• $x=3$: $3^{4}-4\cdot3^{2}+60\cdot3-225 =81-36+180-225=0$ → корень найден.

• $x=-5$: $(-5)^{4}-4\cdot(-5)^{2}+60\cdot(-5)-225 =625-100-300-225=0$ → ещё один корень.

3. Делим многочлен и разлагаем на множители

Сначала делим $f(x)$ на $x-3$, затем результат — на $x+5$. В итоге

4. Решаем каждое из полученных уравнений

1. $x-3=0 \;\Longrightarrow\; x=3.$

2. $x+5=0 \;\Longrightarrow\; x=-5.$

3. $x^{2}-2x+15=0$.
   Дискриминант $\Delta=(-2)^{2}-4\cdot1\cdot15=4-60=-56<0$,
   поэтому корни комплексные:

   $$x=1\pm i\sqrt{14}.$$

5. Проверка действительных корней в исходном уравнении

• Для $x=3$: $3^{4}=81$ и $(2\cdot3-15)^{2}=(-9)^{2}=81$ — верно.

• Для $x=-5$: $(-5)^{4}=625$ и $(2\cdot(-5)-15)^{2}=(-25)^{2}=625$ — верно.

Ответ

• Действительные корни: $x=3,\;x=-5$.

• Комплексные корни: $x=1+i\sqrt{14},\;x=1-i\sqrt{14}$.