Решите уравнение: \( x^3 + 6x^2 = 4x + 24 \)

Для решения уравнения $x^3 + 6x^2 = 4x + 24$, сначала перенесём все слагаемые на одну сторону:

Теперь попробуем разложить это уравнение, используя метод подбора корней. Для этого попробуем найти хотя бы один корень с помощью подбора целых чисел.

Корни могут быть делителями свободного члена $-24$. Это числа: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$.

Пробуем подставить эти значения поочередно в уравнение. Начнём с $x = 2$:

Таким образом, $x = 2$ — корень уравнения.

Теперь, зная, что $x = 2$ — корень, мы можем разложить исходное кубическое уравнение на множители. Для этого разделим многочлен $x^3 + 6x^2 - 4x - 24$ на $x - 2$ с помощью деления многочленов. Результат деления:

Теперь у нас есть уравнение:

Решим квадратное уравнение $x^2 + 8x + 12 = 0$ с помощью дискриминанта. Дискриминант для этого уравнения:

Корни квадратного уравнения:

Таким образом, получаем два корня:

Таким образом, корни исходного уравнения: $x = 2, x = -2, x = -6$.