2x^4 - 5x^2 + 2 = 0 через дискриминант

Чтобы решить уравнение $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0$ через дискриминант, начнем с преобразования его в квадратное уравнение.

1. Подстановка:
   Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$. Тогда уравнение примет вид:

   $$2y^2 - 5y + 2 = 0.$$

   Это обычное квадратное уравнение относительно $y$.

2. Применение дискриминанта:
   Для уравнения $ay^2 + by + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

   $$D = b^2 - 4ac.$$

   Подставим коэффициенты из уравнения $2y^2 - 5y + 2 = 0$ (где $a = 2$, $b = -5$, $c = 2$):

   $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9.$$

3. Нахождение корней:
   Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

   $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}.$$

   Подставим значения:

   $$y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2,$$ $$y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$

4. Возвращение к переменной $x$:
   Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Напоминаем, что $y = x^2$. Рассмотрим два случая для $y$:

   • Если $y_1 = 2$, то $x^2 = 2$, значит $x = \pm \sqrt{2}$.

   • Если $y_2 = \frac{1}{2}$, то $x^2 = \frac{1}{2}$, значит $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, корни исходного уравнения: