Решите неравенство (х-6)² < √10(х-6)

Для решения неравенства $(x - 6)^2 < \sqrt{10}(x - 6)$ давайте поступим следующим образом:

Шаг 1: Вводим замену переменной

Пусть $y = x - 6$. Тогда неравенство примет вид:

Шаг 2: Преобразуем неравенство

Переносим все выражения в одну часть неравенства:

Факторизуем левую часть:

Шаг 3: Определим знаки произведения

Теперь нужно решить неравенство $y(y - \sqrt{10}) < 0$. Чтобы решить это неравенство, определим, при каких значениях $y$ произведение $y(y - \sqrt{10})$ будет отрицательным. Для этого находим корни уравнения:

Эти значения разбивают числовую ось на три интервала:

1. $(-\infty, 0)$

2. $(0, \sqrt{10})$

3. $(\sqrt{10}, +\infty)$

Теперь анализируем знак произведения на каждом интервале:

• На интервале $(-\infty, 0)$ оба множителя $y$ и $y - \sqrt{10}$ отрицательны, произведение положительно.

• На интервале $(0, \sqrt{10})$ $y$ положительное, а $y - \sqrt{10}$ отрицательное, произведение отрицательно.

• На интервале $(\sqrt{10}, +\infty)$ оба множителя $y$ и $y - \sqrt{10}$ положительны, произведение положительно.

Таким образом, неравенство выполняется на интервале $(0, \sqrt{10})$.

Шаг 4: Переводим обратно к переменной $x$

Так как $y = x - 6$, то получаем:

Прибавим 6 ко всем частям неравенства:

Значит, решение неравенства: