Петя и Игорь красят забор за 9 часов, Володя и Петя — за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов покрасят забор, работая втроем?

Для того чтобы найти, за сколько часов Петя, Игорь и Володя покрасят забор вместе, начнем с того, что представим скорость работы каждого из них как дробь от единицы работы за час.

Обозначим:

• $p$ — скорость работы Пети (часть работы, которую он выполняет за 1 час),

• $i$ — скорость работы Игоря,

• $v$ — скорость работы Володи.

У нас есть следующие данные:

1. Петя и Игорь красят забор за 9 часов, значит, их совместная скорость работы:

   $$p + i = \frac{1}{9}.$$

2. Володя и Петя красят забор за 12 часов, значит, их совместная скорость работы:

   $$v + p = \frac{1}{12}.$$

3. Володя и Игорь красят забор за 18 часов, значит, их совместная скорость работы:

   $$v + i = \frac{1}{18}.$$

Теперь мы решим систему уравнений:

1. $p + i = \frac{1}{9}$,

2. $v + p = \frac{1}{12}$,

3. $v + i = \frac{1}{18}$.

Для начала, сложим все три уравнения:

Слева:

Справа:

Для удобства вычислений приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 9, 12 и 18 — это 36:

Таким образом:

Теперь получаем:

Делим обе стороны на 2:

Это означает, что если Петя, Игорь и Володя будут работать вместе, их совместная скорость работы будет $\frac{1}{8}$ работы в час. Таким образом, чтобы покрасить весь забор, им потребуется:

Ответ: Петя, Игорь и Володя покрасят забор за 8 часов.