Миша и Ваня, работая вместе, могут покрасить забор за 40 минут. Ваня, ра- ботая один, может покрасить этот забор за 90 минут. За сколько минут Миша
покрасит этот забор?
​

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим производительность работы Миши и Вани. Мы знаем, что:

• Миша и Ваня, работая вместе, могут покрасить забор за 40 минут.
• Ваня, работая один, может покрасить забор за 90 минут.

Пусть $x$ — время, за которое Миша один сможет покрасить забор (в минутах). Мы найдем значение $x$, решив задачу через производительность.

1. Определяем производительность каждого участника

Производительность показывает, какую часть забора можно покрасить за единицу времени. В случае данной задачи, мы измеряем производительность в "долях забора в минуту".

1. Производительность Вани:
   Ваня красит забор за 90 минут, значит, его производительность равна:

   $$\frac{1}{90} \text{ забора за минуту}$$

2. Совместная производительность Миши и Вани:
   Вместе они могут покрасить забор за 40 минут, значит, их совместная производительность составляет:

   $$\frac{1}{40} \text{ забора за минуту}$$

3. Производительность Миши:
   Обозначим производительность Миши как $\frac{1}{x}$ забора за минуту (где $x$ — искомое время, за которое Миша красит забор один).

2. Составляем уравнение

Поскольку Миша и Ваня, работая вместе, имеют производительность $\frac{1}{40}$, то их индивидуальные производительности в сумме должны давать такую же величину:

3. Решаем уравнение

Решим это уравнение относительно $x$.

1. Перенесем все к общему знаменателю, чтобы избавиться от дробей. Общий знаменатель для 90 и 40 — 360.

2. Преобразуем уравнение:

   $$\frac{1}{x} = \frac{1}{40} - \frac{1}{90}$$

3. Вычтем правую часть:

   \frac{1}{x} = \frac{90 - 40}{3600} = \frac{5}{360} = \frac{72