Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии 5;-10;20 найдите сумму первых пяти её членов

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на некоторое фиксированное число, которое называется знаменателем прогрессии (обозначается буквой $q$).

В данном примере первые три члена прогрессии: 5, -10, 20.

1. Нахождение знаменателя прогрессии (q): Чтобы найти знаменатель, нужно разделить второй член на первый:

   $$q = \frac{-10}{5} = -2$$

   Проверим, подходит ли это значение для третьего члена. Разделим третий член на второй:

   $$q = \frac{20}{-10} = -2$$

   Знаменатель прогрессии действительно равен $q = -2$.

2. Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n$ рассчитывается по формуле:

   $$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}, \quad \text{где } a_1 \text{ — первый член прогрессии, } q \text{ — знаменатель, } n \text{ — количество членов}.$$

   В нашем случае:

   • $a_1 = 5$
   • $q = -2$
   • $n = 5$

   Подставляем эти значения в формулу для суммы:

   $$S_5 = 5 \cdot \frac{1 - (-2)^5}{1 - (-2)}$$

3. Вычисления: Сначала находим $(-2)^5$:

   $$(-2)^5 = -32$$

   Подставим это в формулу:

   $$S_5 = 5 \cdot \frac{1 - (-32)}{1 + 2} = 5 \cdot \frac{1 + 32}{3} = 5 \cdot \frac{33}{3} = 5 \cdot 11 = 55$$

4. Ответ: Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 55.