Для функции f ( x ) = 2 / x^ 2 найти первообразную F ( x ), если F ( 1 ) = 1

Для того чтобы найти первообразную функции $f(x) = \frac{2}{x^2}$, нам нужно найти её неопределённый интеграл.

1. Приведём выражение для функции к более удобной форме:

   $$f(x) = \frac{2}{x^2} = 2x^{-2}$$

2. Теперь интегрируем функцию $f(x) = 2x^{-2}$:

   $$\int 2x^{-2} \, dx$$

   Напоминаем, что для функции $x^n$ (где $n \neq -1$) интеграл равен:

   $$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$$

   Применим это к нашему случаю:

   $$\int 2x^{-2} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{2}{x}$$

3. Таким образом, первообразная функции $f(x)$ будет:

   $$F(x) = -\frac{2}{x} + C$$

   где $C$ — константа интегрирования.

4. Теперь, используя условие $F(1) = 1$, найдём значение константы $C$. Подставляем $x = 1$ в выражение для $F(x)$:

   $$F(1) = -\frac{2}{1} + C = 1$$

   Это даёт уравнение:

   $$-2 + C = 1$$

   Из которого $C = 3$.

5. Таким образом, полное выражение для первообразной:

   $$F(x) = -\frac{2}{x} + 3$$