Для функции f (x) = 2/x^3 - 4x найдите первообразную, которая проходит через точку А (1;6)

Чтобы найти первообразную функции $f(x) = \frac{2}{x^3} - 4x$, нужно сначала найти неопределенный интеграл этой функции. Затем воспользуемся условием на прохождение графика этой первообразной через точку $A(1;6)$, чтобы определить постоянную интегрирования.

1. Найдем неопределенный интеграл функции $f(x)$:

   $f(x) = \frac{2}{x^3} - 4x$

   Перепишем в более удобном для интегрирования виде:

   $$f(x) = 2x^{-3} - 4x$$

   Теперь проинтегрируем эту функцию по $x$:

   $$\int \left(2x^{-3} - 4x\right) \, dx = \int 2x^{-3} \, dx - \int 4x \, dx$$

2. Рассчитаем интегралы по отдельности:

   • Интеграл $\int 2x^{-3} \, dx$:

     $$\int 2x^{-3} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{2}{2} x^{-2} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$$

   • Интеграл $\int 4x \, dx$:

     $$\int 4x \, dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2$$

   Таким образом, общий вид первообразной функции будет следующим:

   $$F(x) = -\frac{1}{x^2} - 2x^2 + C$$

   Здесь $C$ — постоянная интегрирования.

3. Найдем $C$ с учетом условия прохождения через точку $A(1;6)$:

   Так как первообразная проходит через точку $(1;6)$, подставим $x = 1$ и $F(x) = 6$ в выражение для $F(x)$:

   $$6 = -\frac{1}{1^2} - 2 \cdot 1^2 + C$$

   Упростим выражение:

   $$6 = -1 - 2 + C$$ $$6 = -3 + C$$ $$C = 6 + 3 = 9$$

   Таким образом, значение постоянной $C = 9$.

4. Запишем окончательный ответ:

   Искомая первообразная функции $f(x) = \frac{2}{x^3} - 4x$, проходящая через точку $A(1;6)$, имеет вид:

   $$F(x) = -\frac{1}{x^2} - 2x^2 + 9$$

Это и есть первообразная данной функции, удовлетворяющая условию задачи.